Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Iš pirmojo būrelio skaičiaus atimkite lankančius abu, tada tą patį padarykite su antruoju. Gautus dviejų nesikertančių grupių dydžius sudėkite. Trumpai: A + B − 2 · abu.

Suskaičiuokite nurodyto intervalo skaičius, kurie dalijasi iš pirmojo arba antrojo žingsnio, bet ne iš abiejų. Abiejų robotų paliesti šviestuvai perjungiami du kartus ir vėl lieka išjungti. Todėl iš abiejų atskirų kiekių sumos du kartus atimkite bendrų kartotinių kiekį.

Užrašykite galimas poras (pirmo suktuko skaičius; antro suktuko skaičius). Pirmą skaičių didinkite po vieną, o antrą parinkite taip, kad suma nesikeistų. Skaičiuokite tik poras, kurių abu skaičiai patenka į nurodytą intervalą. Kadangi suktukai skirtingi, sukeista pora yra kitas rezultatas.

Nuosekliai rinkitės 5 € monetų skaičių nuo 0 iki didžiausio galimo. Kiekvienu atveju patikrinkite, ar likusią sumą galima padalyti iš 2 be liekanos. Kiekvienas toks pasirinkimas duoda vieną skirtingą mokėjimo būdą.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Palindromą visiškai nustato pirmoji jo pusė, įskaitant vidurinį skaitmenį, kai ilgis nelyginis. Pirmajam skaitmeniui turime d pasirinkimų, nes 0 netinka. Kiekvienai likusiai laisvai vietai tinka visi d + 1 skaitmenys. Antroji kodo pusė jau nustatoma atspindžiu.

Lygiai dvi nudažytas sienas turi kubeliai, esantys ant didžiojo kubo briaunų, bet ne kampuose. Kiekvienoje iš 12 briaunų tokių kubelių yra n − 2. Todėl skaičiuokite 12(n − 2).

Blogiausiu atveju galima ištraukti po vienu mažiau nei reikia kiekvienos spalvos karoliukų ir dar neturėti reikiamos vienodos grupės. Tai sudaro spalvų skaičius · (reikalingas kiekis − 1). Dar vienas karoliukas būtinai užbaigs bent vieną grupę.

Patogu įsivaizduoti visus skaičius užrašytus vienodu skaitmenų skaičiumi, priekyje prirašant nulius. Kiekvienoje skaitmens vietoje 0, 1, …, 9 pasikartoja vienodai dažnai. Vieno ciklo skaitmenų suma yra 45. Šią sumą padauginkite iš pasikartojimų kiekio kiekvienoje vietoje ir iš skaitmenų vietų skaičiaus.

Dviženklį skaičių su dešimčių skaitmeniu a ir vienetų skaitmeniu b galima užrašyti kaip 10a + b, o apverstą – kaip 10b + a. Jų skirtumas yra 9(a − b). Skaičių skirtumą padalykite iš 9.

Iš kiekvienos viršūnės galima nubrėžti atkarpas į visas kitas viršūnes, išskyrus ją pačią ir dvi gretimas viršūnes, taigi lieka n − 3 įstrižainės. Taip kiekviena įstrižainė suskaičiuojama iš abiejų galų, todėl rezultatą dalykite iš 2: n(n − 3) / 2.

Atskirai suskaičiuokite 1 × 1 kvadratus ir 2 × 2 kvadratus. Dviejų eilučių juostoje didesnių kvadratų būti negali. Sudėkite abiejų dydžių kvadratų kiekius.

Svarelis kitoje lėkštelėje didina atsvarą, o svarelis vienoje lėkštelėje su daiktu sumažina reikalingą atsvarą. Ieškokite lygybės: daikto masė + svareliai su daiktu = svareliai kitoje pusėje. Patikrinkite pasirinkimą sudėdami abi puses.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Vienu judėjimu stotelės numeris padidėja nurodytu žingsniu. Prie pradinės padėties pridėkite visų žingsnių skaičių. Kadangi maršrutas žiedinis, rezultatą dalykite iš stotelių skaičiaus ir naudokite liekaną. Nulinė liekana reiškia paskutinę stotelę.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Galima sudėti visų kvadratų kraštines ir panaikinti vidines bendras kraštines: kiekviena bendra kraštinė iš pradinės sumos atimama du kartus. Kitas būdas – nuosekliai apeiti tik išorinį figūros kontūrą ir suskaičiuoti jo vienetines atkarpas.

Sąlygas paverskite rodyklėmis nuo anksčiau finišavusio drono į vėliau finišavusį. Sujunkite visas rodykles į vieną penkių dronų eilę. Trečiasis eilėje yra ieškomas dronas.

Atskirai suskaičiuokite vienaženklius ir dviženklius puslapių numerius. Puslapiams nuo 1 iki 9 reikia 9 skaitmenų. Kiekvienam puslapiui nuo 10 iki paskutinio reikia po 2 skaitmenis. Abu kiekius sudėkite.