Pasiruošimas matematikos olimpiadai

Jei visi žetonai būtų skirtingi, n žetonų būtų galima išdėstyti n! būdų. Tačiau tos pačios spalvos žetonų sukeitimas eilės nepakeičia. Todėl bendrą faktorialą padalykite iš kiekvienos spalvos žetonų skaičiaus faktorialo: n! / (a!b!c!).

Pirmasis pjūvis prideda 1 naują dalį. Kiekvienas kitas pjūvis, kirsdamas visus ankstesnius skirtinguose taškuose, padalijamas į tiek atkarpų, kiek yra ankstesnių pjūvių, ir dar vieną. Todėl naujų dalių skaičiai yra 1, 2, 3 ir t. t. Prie pradinės vienos dalies pridėkite 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2.

Pažiūrėkite į kairįjį lentos kraštą. Jį galima uždengti vienu stačiu domino, paliekant 2 × (n − 1) lentą, arba dviem gulsčiais domino, paliekant 2 × (n − 2) lentą. Todėl būdų skaičius tenkina taisyklę F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), kai F(1) = 1 ir F(2) = 2.

Vieno pilno ciklo trukmė lygi darbo ir įkrovimo laikų sumai. Visą turimą laiką padalykite iš vieno ciklo trukmės. Atsakymui imkite tik sveikąją dalį, nes nebaigtas ciklas neskaičiuojamas.

Pirmiausia suskaičiuokite visus trumpiausius maršrutus: iš visų žingsnių vietų pasirinkite, kuriose bus žingsniai į dešinę. Tada suskaičiuokite draudžiamus maršrutus per pažymėtą tašką. Jų skaičius lygus maršrutų iki draudžiamo taško ir maršrutų nuo jo iki pabaigos skaičių sandaugai. Iš visų maršrutų atimkite draudžiamus.

Iš pirmojo būrelio skaičiaus atimkite lankančius abu, tada tą patį padarykite su antruoju. Gautus dviejų nesikertančių grupių dydžius sudėkite. Trumpai: A + B − 2 · abu.

Vienu judėjimu stotelės numeris padidėja nurodytu žingsniu. Prie pradinės padėties pridėkite visų žingsnių skaičių. Kadangi maršrutas žiedinis, rezultatą dalykite iš stotelių skaičiaus ir naudokite liekaną. Nulinė liekana reiškia paskutinę stotelę.

Kiekviename trumpiausiame maršrute dešiniųjų ir aukštyn vedančių žingsnių skaičius yra iš anksto nustatytas. Užrašykite visus žingsnius viena eile ir pasirinkite, kuriose vietose bus vienos krypties žingsniai. Pasirinkimų skaičius apskaičiuojamas formule n! / (k!(n − k)!).

Vienu ėjimu „+“ kortelių skaičius pasikeičia −2, 0 arba +2, todėl jo lyginumas nekinta. Palyginkite pradinio „+“ kortelių skaičiaus lyginumą su galutinėmis galimybėmis: visos „−“ reiškia 0 „+“, o visos „+“ – tiek „+“, kiek yra kortelių. Jei bent vienos galutinės būsenos lyginumas sutampa, ją galima pasiekti.

Kiekvieną stačiakampį nusako dvi pasirinktos vertikalios ir dvi horizontalios tinklelio linijos. Jei yra v vertikalių ir h horizontalių linijų, atsakymas lygus pasirinkimų skaičių sandaugai: v(v − 1) / 2 · h(h − 1) / 2.

Kiekvienos rungtynės atitinka vieną skirtingų komandų porą. Jei komandų skaičius yra n, pirmoji gali būti suporuota su n − 1 kitų, tačiau taip kiekviena pora būtų suskaičiuota du kartus. Todėl skaičiuokite n(n − 1) / 2.

Skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9. Sudėkite visus matomus skaitmenis. Tada raskite tokį skaitmenį nuo 0 iki 9, kurį pridėjus gaunamas artimiausias 9 kartotinis.

Suskaičiuokite nurodyto intervalo skaičius, kurie dalijasi iš pirmojo arba antrojo žingsnio, bet ne iš abiejų. Abiejų robotų paliesti šviestuvai perjungiami du kartus ir vėl lieka išjungti. Todėl iš abiejų atskirų kiekių sumos du kartus atimkite bendrų kartotinių kiekį.

Pradėkite nuo skaičių, turinčių pirmąją liekaną: ra, ra + a, ra + 2a ir t. t. Tikrinkite juos iš eilės dalydami iš antrojo daliklio. Pirmasis skaičius, paliekantis ir antrąją nurodytą liekaną, yra mažiausias sprendinys.

Ieškome skaičiaus n, kuriam n(n + 1) lygu duotai sandaugai. Sandaugos kvadratinė šaknis yra tarp dviejų ieškomų skaičių, todėl įvertinkite ją, pasirinkite artimiausią mažesnį sveikąjį skaičių ir patikrinkite padauginę jį iš kito skaičiaus.

Pirmiausia apskaičiuokite visos išorinės stačiakampės plokštės plotą: ilgį padauginkite iš pločio. Tada apskaičiuokite išpjauto stačiakampio plotą. Iš viso ploto atimkite išpjautos dalies plotą.

Svarelis kitoje lėkštelėje didina atsvarą, o svarelis vienoje lėkštelėje su daiktu sumažina reikalingą atsvarą. Ieškokite lygybės: daikto masė + svareliai su daiktu = svareliai kitoje pusėje. Patikrinkite pasirinkimą sudėdami abi puses.

Pradėkite nuo vienos daugiakampio srities. Kiekviena kraštinė ir įstrižainė siejasi su viršūnių pora, o kiekvienas vidinis dviejų įstrižainių susikirtimas – su keturiomis pasirinktomis viršūnėmis. Galutinis sričių skaičius yra C(n, 4) + C(n, 2) − n + 1.

Užrašykite galimas poras (pirmo suktuko skaičius; antro suktuko skaičius). Pirmą skaičių didinkite po vieną, o antrą parinkite taip, kad suma nesikeistų. Skaičiuokite tik poras, kurių abu skaičiai patenka į nurodytą intervalą. Kadangi suktukai skirtingi, sukeista pora yra kitas rezultatas.

Iš lygybės gauname y = suma − x. Sąlyga y ≤ nustatytos ribos duoda papildomą apatinę ribą skaičiui x. Palyginkite ją su jau duota x riba ir iš eilės suskaičiuokite visas leistinas sveikąsias x reikšmes iki pat sumos. Kiekviena x reikšmė nustato tik vieną y.