Šaknys ir racionalieji laipsniai

Realiųjų skaičių aibėje lyginio laipsnio šaknis apibrėžta tik tada, kai pošaknis yra neneigiamas, tai yra didesnis už nulį arba lygus nuliui.

Sąlyga: jei n yra lyginis, tai reiškiniui ⁿ√a turi galioti a ≥ 0.

• Kai a > 0, šaknis turi teigiamą realiąją reikšmę.
• Kai a = 0, šaknis lygi 0.
• Kai a < 0, lyginio laipsnio šaknis realiųjų skaičių aibėje neegzistuoja.

Taip yra todėl, kad bet kurį realųjį skaičių keliant lyginiu laipsniu gaunamas neneigiamas rezultatas.

Dauginant dvi tos pačios eilės šaknis, po vienu šaknies ženklu galima sudauginti jų pošaknius:

Taisyklė: ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a · b).

1. Patikrinkite, kad abiejų šaknų rodiklis n yra vienodas.
2. Atpažinkite, kokie skaičiai, pakelti n-tuoju laipsniu, duoda pirmąjį ir antrąjį pošaknį.
3. Ištraukite abi šaknis ir gautus skaičius sudauginkite.

Šio klausimo pošakniai parenkami kaip tikslūs n-tieji laipsniai, todėl atsakymas yra sveikasis skaičius.

Trupmeninis rodiklis ^m⁄_n reiškia, kad pirmiausia galima ištraukti n-tojo laipsnio šaknį, o tada rezultatą pakelti m-tuoju laipsniu.

Taisyklė: a^m/n = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m).

1. Pažiūrėkite į rodiklio vardiklį n – jis nurodo, kokio laipsnio šaknį reikia traukti.
2. Ištraukite n-tojo laipsnio šaknį iš pagrindo.
3. Gautą skaičių pakelkite rodiklio skaitiklio m nurodytu laipsniu.

Šiame klausime pagrindas parenkamas kaip tikslus n-tasis laipsnis, todėl šaknis išsitraukia be liekanos.

Trupmeninis laipsnio rodiklis parodo du veiksmus: vardiklis n nurodo šaknies laipsnį, o skaitiklis m – laipsnį.

Taisyklė: a^m/n = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m.

1. Trupmeninio rodiklio vardiklį perkelkite prie šaknies ženklo.
2. Skaitiklį palikite kaip pošaknio arba visos šaknies laipsnį.
3. Patikrinkite, kad m ir n nebūtų sukeisti vietomis.

Realiųjų skaičių aibėje, kai n yra lyginis, pošaknis turi būti neneigiamas.

Norėdami panaikinti vardiklio iracionalumą, skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš √{n}.

1/√{n} · √{n}/√{n} = √{n}/n.

Taip vardiklyje lieka racionalus skaičius n.

Viena šaknis iš kitos gali būti užrašyta kaip viena šaknis.

1. Sudauginkite išorinės ir vidinės šaknų laipsnius.
2. Iš pradinio skaičiaus ištraukite gauto laipsnio šaknį.
3. Patikrinkite atsakymą: pakėlus jį abiejų šaknų laipsnių sandaugos laipsniu turi būti gautas pradinis skaičius.

Taisyklė: n-tojo laipsnio šaknis iš m-tojo laipsnio šaknies iš skaičiaus yra (n × m)-tojo laipsnio šaknis iš to skaičiaus.